【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面 為等腰直角三角形，,為的中點，為的中點.

(1)求異面直線與所成角的余弦值；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）設AD的中點為G，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面ABCD，建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量數(shù)量積得夾角，即得結果，（2）利用方程組解得平面PBD的法向量，利用向量數(shù)量積得法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關系得結果.

（1）如圖，設AD的中點為G，連接PG，因為為等腰直角三角形，=90，所以.又平面平面ABCD,所以平面ABCD.

以G為坐標原點，GA,GP所在直線分別為x,z軸建立空間直角坐標系，

可得A（1,0,0），P（0,0,1）,B(1,2,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0),則E（,1,）,F(-,1,),

所以,.故，

故異面直線ED與BF所成角的余弦值為.

（2）由（1）知，,設平面PBD的法向量為，

則 所以令

所以平面PBD的一個法向量為=(1,-1,-1).

易知平面ABD的一個法向量為=(0,0,1)，

所以，

由圖可知，二面角A-BD-P為銳二面角，

所以二面角A-BD-P的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（其中），．它的最小正周期為，，且的最大值為2．

（1）求的解析式；

（2）寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間、對稱軸和對稱中心．

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【題目】在一次猜燈謎活動中，共有20道燈謎，兩名同學獨立競猜，甲同學猜對了12個，乙同學猜對了8個，假設猜對每道燈謎都是等可能的，試求：

（1）任選一道燈謎，恰有一個人猜對的概率；

（2）任選一道燈謎，甲、乙都沒有猜對的概率．

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【題目】由于疫情影響，今年我們學校開展線上教學，高一年級某班班主任為了了解學生上網(wǎng)學習時間，對本班40名學生某天上網(wǎng)學習時間進行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)（取整數(shù)）整理后，繪制出如圖所示頻率分布直方圖，已知從左到右各個小組的頻率分別是0.15，0.25，0.35，0.20，0.05，則根據(jù)直方圖所提供的信息.

（1）這一天上網(wǎng)學習時間在分鐘之間的學生有多少人？

（2）這40位同學的線上平均學習時間是多少？

（3）如果只用這40名學生這一天上網(wǎng)學習時間作為樣本去推斷該校高一年級全體學生該天的上網(wǎng)學習時間，這樣推斷是否合理？為什么？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了了解校園噪音情況，學校環(huán)保協(xié)會對校園噪音值（單位：分貝）進行了天的監(jiān)測，得到如下統(tǒng)計表：

噪音值（單位：分貝）

頻數(shù)

（1）根據(jù)該統(tǒng)計表，求這天校園噪音值的樣本平均數(shù)（同一組的數(shù)據(jù)用該組組間的中點值作代表）.

（2）根據(jù)國家聲環(huán)境質(zhì)量標準：“環(huán)境噪音值超過分貝，視為重度噪音污染；環(huán)境噪音值不超過分貝，視為度噪音污染.”如果把由上述統(tǒng)計表算得的頻率視作概率，回答下列問題：

（i）求周一到周五的五天中恰有兩天校園出現(xiàn)重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音污染的概率.

（ii）學校要舉行為期天的“漢字聽寫大賽”校園選拔賽，把這天校園出現(xiàn)的重度噪音污染天數(shù)記為，求的分布列和方差.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.

(1)若α＝75°，R＝12 cm，求扇形的弧長l和面積；

(2)若扇形的周長為20 cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機抽樣的個數(shù)為( )

①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本.

②盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質(zhì)量檢驗.在抽樣操作時，從中任意拿出一個零件進行質(zhì)量檢驗后再把它放回盒子里.

③從20件玩具中一次性抽取3件進行質(zhì)量檢驗.

④某班有56名同學，指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽.

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)2017年招聘員工，其中A、B、C、D、E五種崗位的應聘人數(shù)、錄用人數(shù)和錄用比例（精確到1%）如下：

（Ⅰ）從表中所有應聘人員中隨機選擇1人，試估計此人被錄用的概率；

（Ⅱ）從應聘E崗位的6人中隨機選擇1名男性和1名女性，求這2人均被錄用的概率；

（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各崗位的男性、女性錄用比例都接近（二者之差的絕對值不大于5%），但男性的總錄用比例卻明顯高于女性的總錄用比例．研究發(fā)現(xiàn)，若只考慮其中某四種崗位，則男性、女性的總錄用比例也接近，請寫出這四種崗位．（只需寫出結論）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點是拋物線的焦點，是拋物線在第一象限內(nèi)的點，且，

(I) 求點的坐標；

(II)以為圓心的動圓與軸分別交于兩點，延長分別交拋物線于兩點；

①求直線的斜率；

②延長交軸于點，若，求的值.

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