Question

10．如圖四棱錐P-ABCD中，PB=PC，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=$\sqrt{3}$．
（1）求證：AB∥平面PCD；
（2）求證：PA⊥BC．

Answer 1

分析 （1）由AB∥DC，能證明AB∥平面PCD．
（2）由已知推導(dǎo)出△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO、PO，則AO⊥BC，PO⊥BC，由此能證明PA⊥BC．

解答 證明：（1）∵底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，
又CD?平面PCD，AB?平面PCD，
∴由直線與平面平行判定定理得AB∥平面PCD．
（2）∵底面ABCD是直角梯形，
AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=$\sqrt{3}$，
∴∠ADC=90°，AC=$\sqrt{3+1}$=2，∴△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO、PO，則AO⊥BC，
∵四棱錐P-ABCD中，PB=PC，∴PO⊥BC，
∵PO∩AO=O，∴BC⊥平面PAO，
∵PA?平面PAO，∴PA⊥BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查異面直線垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．