Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=log₂（1+a•2^x+4^x），其中a為常數(shù)
（1）當f（2）=f（1）+2，求a的值；
（2）當x∈[1，+∞）時，關(guān)于x的不等式f（x）≥x-1恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接計算出f（1）和f（2），根據(jù)條件解方程即可求得a；
（2）采用分離參數(shù)法，分離變量a，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值，得出a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=log₂（1+a•2^x+4^x），
∴f（1）=log₂（1+2a+4），f（2）=log₂（1+4a+16），
由于f（2）=f（1）+2，
即log₂（4a+17）=log₂（2a+5）+2，
解得，a=-$\frac{3}{4}$；
（2）因為f（x）≥x-1恒成立，
所以，log₂（1+a•2^x+4^x）≥x-1，
即，1+a•2^x+4^x≥2^x-1，
分離參數(shù)a得，a≥$\frac{1}{2}$-（2^x+2^-x），
∵x≥1，∴（2^x+2^-x）_min=$\frac{5}{2}$，此時x=1，
所以，a≥$\frac{1}{2}$-$\frac{5}{2}$=-2，
即實數(shù)a的取值范圍為[-2，+∞）．

點評 本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及對數(shù)的運算性質(zhì)，以及不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．