Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$，g（x）=$\frac{4}{3}$x+1-a
（1）求f（x）的值域；
（2）若點(diǎn)（3，2）到函數(shù)g（x）圖象所表示的直線(xiàn)的距離為3，求a值；
（3）若有f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根式函數(shù)以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）的值域；
（2）若點(diǎn)（3，2）到函數(shù)g（x）圖象所表示的直線(xiàn)的距離為3，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離關(guān)系進(jìn)行求解即可求a值；
（3）利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由-x²-4x≥0得x²+4x≤0，即-4≤x≤0，
此時(shí)f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$=$\sqrt{-（x+2）^{2}+4}$∈[0，2]，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，2]．
（2）由g（x）=$\frac{4}{3}$x+1-a=y得4x-3y+3（1-a）=0，
則若點(diǎn)（3，2）到函數(shù)g（x）圖象所表示的直線(xiàn)的距離為3，
則d=$\frac{|4×3-3×2+3（1-a）|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=3，
即$\frac{|12-6+3-3a|}{5}=\frac{|9-3a|}{5}=3$，
則|3-a|=5，即a=8或a=-2．
（3）若有f（x）≤g（x）恒成立，
則函數(shù)f（x）對(duì)應(yīng)的圖象，在g（x）的圖象下方，
函數(shù)f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$，表示以C（-2，0）為圓心，半徑r=2的圓的上半部分，
則直線(xiàn)g（x）=$\frac{4}{3}$x+1-a的截距1-a＞0，即a＜1，
則滿(mǎn)足圓心C到直線(xiàn)4x-3y+3（1-a）=0的距離d≥2，
即$\frac{|-2×4+3-3a|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{|3a+5|}{5}$≥2，
則|3a+5|≥10，
即3a+5≥10或3a+5≤-10，
即3a≥5或3a≤-15，
即a≥$\frac{5}{3}$（舍）或a≤-5，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-5]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的計(jì)算，不等式恒成立問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．