Question

4．下列函數(shù)中，同時(shí)滿足條件①f（-x）=-f（x）；②若x₁＜x₂有f（x₁）＜f（x₂）的為（　�。�

• A． y=x+1
• B． y=2cosx
• C． y=-$\frac{1}{x}$
• D． y=x|x|

Answer 1

分析 由條件可得f（x）為定義域R上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，運(yùn)用常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，即可判斷A，B，C錯(cuò)誤，D正確．

解答 解：①f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數(shù)；
②若x₁＜x₂有f（x₁）＜f（x₂），可得f（x）為R上的增函數(shù)．
對(duì)于A，y=x+1為R上的增函數(shù)，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，y=2cosx為偶函數(shù)，在（2kπ-π，2kπ），k∈Z遞增，在（2kπ，2kπ+π），k∈Z遞減，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于C，y=-$\frac{1}{x}$為奇函數(shù)，且在（-∞，0），（0，+∞）遞增，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，y=x|x|，有f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），x＞0時(shí)，y=x²遞增，在R上遞增，故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查運(yùn)算能力和判斷能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．