Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-kx²（k∈R）．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)k∈（

1

2

，1]時(shí)，求用k表示函數(shù)f（x）在（0，+∞）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)k=1時(shí)，f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2x=x（e^x-2）．令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=ln 2，列表討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2kx=x（e^x-2k），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在（0，+∞）的最小值．

解答： 解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=（x-1）e^x-x²，
∴f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2x=x（e^x-2）．
令f′（x）=0得x₁=0，x₂=ln 2．
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，ln 2）	ln 2	（ln 2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

由表可知，函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為（0，ln 2），遞增區(qū)間為（-∞，0），（ln 2，+∞）．
（2）f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2kx=x（e^x-2k），
∵

1

2

＜k≤1，∴1＜2k≤2，
由（1）可知f（x）在（0，ln 2k）上單調(diào)遞減，
在（ln 2k，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f(x)min=f(ln2k)=2k•ln(2k)-2k-kln2(2k)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)的最值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．