Question

已知函數(shù)f（x）=1-

2

3x+1

（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
（3）解不等式f（2x）+f（x-1）＜0．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義即可判斷出；
（2）利用單調(diào)函數(shù)的定義即可證明；
（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可解出．

解答： （1）解：由函數(shù)f（x）=1-

2

3x+1

，可得定義域為R．
∵f（-x）=1-

2

3-x+1

=1-

2•3x

1+3x

=

1-3x

1+3x

=

2-(1+3x)

1+3x

=

2

1+3x

-1=-(1-

2

1+3x

)=-f（x）．
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）證明：?x₁＜x₂，則0＜3x1＜3x2．
則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

3x1+1

-(1-

2

3x2+1

)=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（3）解：由f（2x）+f（x-1）＜0，化為f（2x）＜-f（x-1）=f（1-x），
由（2）可知：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
∴2x＜1-x，
∴x＜

1

3

．
∴f（2x）+f（x-1）＜0的解集為：{x|x＜

1

3

}．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．