Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H為PC的中點，PA=AC=2，BC=1．
（Ⅰ）求證：AH⊥平面PBC；
（Ⅱ）求經(jīng)過點P-ABC的球的表面積．

Answer 1

考點：球的體積和表面積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）要證AH⊥面PBC，只要證AH垂直于面PBC內(nèi)的兩條相交直線即可，由已知易證AH⊥PC，再由已知結(jié)合線面垂直的判斷證得BC⊥面PAC，則BC⊥AH，然后由線面垂直的判斷得結(jié)論；
（Ⅱ）由題意，取BC的中點O，則O是球心，求出經(jīng)過點P-ABC的球的半徑，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABC，BC?底面ABC，
∴PA⊥BC，
又AC⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥面PAC，
又AH?面PAC，
∴AH⊥BC，
∵H為PC的中點，且PA=AC，
∴AH⊥PC，
又PC∩BC=C，
∴AH⊥面PBC；
（Ⅱ）解：由題意，取BC的中點O，則O是球心，PB=3，
∴經(jīng)過點P-ABC的球的半徑為

3

2

∴S=4π×

9

4

=9π．

點評：本題考查了直線與平面平行的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，屬于中檔題．