Question

設(shè)f（x）=|log_mx|，其中m＞0，m≠1，已知0＜a＜b，且滿足f（a）=f（b）
（1）求證：a•b=1；
（2）比較

a+b

2

與1的大�。�
（3）試問當(dāng)m＞1時，關(guān)于b的方程f（b）=2f（

a+b

2

）是否在（3，4）內(nèi)有解？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,不等式比較大小

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用m與1和0的大小，畫出函數(shù)的圖象然后證明a•b=1；
（2）利用（1）ab=1，化簡

a+b

2

，構(gòu)造函數(shù)φ（b）=

1

b

+b，（b＞0，b≠1）利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值然后與1比較大小；
（3）試問當(dāng)m＞1時，關(guān)于b的方程f（b）=2f（

a+b

2

），利用（2）函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)判定定理判斷函數(shù)在（3，4）內(nèi)有解的問題．

解答： 解：（1）當(dāng)m＞1時，結(jié)合函數(shù)圖象，由f（a）=f（b）可判斷a∈（0，1），b∈（1，+∞），
從而-log_ma=log_mb，從而log_mab=0，故ab=1．
0＜m＜1時，同理有ab=1．（沒討論扣1分） …（4分）
（2）由（1）知

a+b

2

=

1 b +b

2

，
令φ（b）=

1

b

+b，（b＞0，b≠1）
在（1，+∞）上任取b₁，b₂且1＜b₁＜b₂，
∵φ（b₁）-φ（b₂）=

1

b1

+b1-(

1

b2

+b2)
=(

1

b1

-

1

b2

)+(b1-b2)=

b2-b1

b1b2

+（b₁-b₂）
=

(b1-b2)(b1b2-1)

b1b2

＜0，
∴φ（b₁）＜φ（b₂），∴φ（b）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴φ（b）＞φ（1）=2．所以

a+b

2

＞1．…（9分）
（3）由前知m＞1時b＞1，

a+b

2

＞1，．∵f（b）=2f(

a+b

2

)，
∴l(xiāng)og_mb=2log_m

a+b

2

=log_m²，
∴b=(

a+b

2

)2，
得4b=a²+b²+2ab，（ab=1）

1

b2

+b²+2-4b=0．
令h（b）=

1

b2

+b²+2-4b，
因?yàn)閔（3）＜0，h（4）＞0，
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，
函數(shù)h（b）在（3，4）內(nèi)一定存在零點(diǎn)，
即關(guān)于b的方程f（b）=2f(

a+b

2

)在（3，4）內(nèi)有解．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，構(gòu)造法以及函數(shù)的單調(diào)性以及最值的求法，函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．