Question

6．已知函數(shù)f（x）=mx-$\frac{m}{x}$，g（x）=3lnx．
（1）當(dāng)m=4時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）若x∈（1，$\sqrt{e}$]（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）m=4時(shí)，f′（2）=5，從而可求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）mx-$\frac{m}{x}$-3lnx＜3恒成立，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化求出函數(shù)的最值，構(gòu)造函數(shù)G（x）=$\frac{3x+3xlnx}{{x}^{2}-1}$，當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，可求得G′（x）＜0，即G（x）在x∈（1，e]時(shí)遞減，可求G（x）在x∈（1，e]時(shí)的最小值．

解答 解：（1）m=4時(shí)，f（x）=4x-$\frac{4}{m}$，f′（x）=4+$\frac{4}{{x}^{2}}$，
f′（2）=4+1=5，（2分），
f（2）=4-2=2，
切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），
∴切線方程為y-2=5（x-2），即y=5x-8，（4分）
（2）由題意知，若不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，
則等價(jià)為mx-$\frac{m}{x}$-3lnx＜3恒成立，即m（x²-1）＜3x+3xlnx恒成立，
∵x²-1＞0
則當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，m＜$\frac{3x+3xlnx}{{x}^{2}-1}$恒成立，（7分）
令G（x）=$\frac{3x+3xlnx}{{x}^{2}-1}$，當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，
G′（x）=$\frac{-3（{x}^{2}+1）lnx-6}{（{x}^{2}-1）^{2}}$＜0，（9分）
則G（x）在x∈（1，e]時(shí)遞減，
∴G（x）在x∈（1，e]時(shí)的最小值為G（e）=$\frac{6e}{{e}^{2}-1}$，（11分）
則m的取值范圍是（-∞，$\frac{6e}{{e}^{2}-1}$）（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求求切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查構(gòu)造函數(shù)分析解決問題的能力，考查恒成立問題，突出轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力的考查，屬于難題．