Question

17．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AC=AD，點E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求證：PD∥平面EAC．
（2）求平面ACE和平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明PD∥平面EAC．
（2）建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面ACE和平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）∵AB⊥BC，AB=BC=1，∴AC=$\sqrt{2}$，∠BAC=$\frac{π}{4}$，
∵AC=AD，AC⊥AD，
∴CD=2，∠ACD=$\frac{π}{4}$
∴∠BAC=∠ACD，則AB∥CD，
連接BD，交AC于M，連EM，則$\frac{DM}{MB}=\frac{CD}{AB}=2$，
又PE=2EB，在△BPD中，$\frac{PE}{EB}=\frac{DM}{MB}=2$，
∴PD∥EM，
∵PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC
（2）建立如圖所示的空間坐標(biāo)系如圖：
則A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面AEC的一個法向量，
則$\overrightarrow{AE}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AE}$（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AE}$=x+y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$y+$\frac{1}{3}$z=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=-y}\\{z=-2y}\end{array}\right.$，
令y=1，則x=-1，z=-2，則$\overrightarrow{m}$=（-1，1，-2），
同理平面ABCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即平面ACE和平面ABCD所成銳二面角的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的判斷以及二面角的求解，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．綜合性較強，運算量較大．