Question

1．設不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≤4}\\{kx-y≥0}\\{kx-y-4k≤0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域為W
（1）若k=2，M（x，y）為區(qū)域W內(nèi)的動點，求x+2y的最大值；
（2）區(qū)域W內(nèi)部的整點的個數(shù)有多少？（整點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點）．

Answer 1

分析 （1）把k=2代入不等式組，畫出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)求得x+2y的最大值；
（2）由題意可知，當k=0時可行域為直線；當k≠0時，通過把可行域變形，得到正方形區(qū)域求整點個數(shù)．

解答 解：（1）當k=2時，不等式組為$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≤4}\\{2x-y≥0}\\{2x-y-8≤0}\end{array}\right.$，
對應的平面區(qū)域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=4}\\{2x-y-8=0}\end{array}\right.$，解得B（6，4），
令z=x+2y，化為y=-$\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$，
由圖可知，當直線y=-$\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$過B時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為6+2×4=14．
∴x+2y的最大值為14；
（2）由題意，當k=0時，原不等式化為$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≤4}\\{y≤0}\end{array}\right.$，即y=0，平面區(qū)域為直線y=0，區(qū)域W內(nèi)部的整點的個數(shù)有無數(shù)個；
當k≠0時，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≤4}\\{kx-y≥0}\\{kx-y-4k≤0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域W如圖，
${x}_{C}=\frac{4}{k}$，${x}_{B}=\frac{4}{k}+4$，則BC長度為4．
當OC過整點個數(shù)分別為1、2、3、4、5時，區(qū)域W內(nèi)部的整點的個數(shù)分別為：21、22、23、24、25．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，（2）中改變可行域形狀求整點是該題的難點，屬于難題．