Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow$=（cosx，2cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+m（m∈R）$，且當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的最小值為2．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上的點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的$\frac{1}{2}$，再把所得的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求方程g（x）=4在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上所有根之和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量的數(shù)量積、三角函數(shù)降冪公式、三角函數(shù)恒等變換，得到f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，再由當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的最小值為2，求出$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+3$．由此能求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由函數(shù)y=f（x）伸縮變換、平移變換得到$g（x）=2sin（4x-\frac{π}{6}）+3$，由此能求出方程g（x）=4在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上所有根之和．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow$=（cosx，2cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+m（m∈R）$，
∴f（x）=$2co{s}^{2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+m$
=$cos2x+\sqrt{3}sin2x+m+1$
=$2（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）+m+1$
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
∴$x=\frac{π}{2}$時，f（x）_min=2×$（-\frac{1}{2}）$+m+1=2，解得m=2，
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+3$．
令2kπ-$\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得f（x）的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，（k∈Z）．
（Ⅱ）∵函數(shù)y=f（x）的圖象上的點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的$\frac{1}{2}$，
得到f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）+3，
再把所得的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
∴$g（x）=2sin（4x-\frac{π}{6}）+3$，
∵g（x）=4，∴$sin（4x-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，解得4x-$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{6}$或4x-$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$或x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}$，k∈Z．
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴x=$\frac{π}{12}$或x=$\frac{π}{4}$，
故所有根之和為：$\frac{π}{12}+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的增區(qū)間的求法，考查三角方程所有根之和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量的數(shù)量積、三角函數(shù)降冪公式、三角函數(shù)恒等變換、伸縮變換、平移變換的合理運(yùn)用．