Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=

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，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PO⊥面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線PB與CD所成的角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件得PO⊥AD，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，由此能證明PO⊥面ABCD．
（Ⅱ） BC∥OD且BC=OD，由BC∥CD，得∠PBO為所求角或其補(bǔ)角，由此能求出異面直線PB與CD所成的角的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：PA=PD=

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，O為AD的中點(diǎn)，則PO⊥AD，
依題意側(cè)面PAD⊥底面ABCD，
且側(cè)面 PAD∩底面ABCD=AD，
所以PO⊥面ABCD．（6分）
（Ⅱ）解：BC∥OD且BC=OD，
則四邊形BCDO為平行四邊形，
故 BC∥CD，所以∠PBO為所求角或其補(bǔ)角，
又tan∠PBO=

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，
故所求的角的正切值為

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．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．