Question

2．假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料：

x	2	3	4	5	6
y	22	38	55	65	70

若由資料可知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：
（1）線性回歸方程；
（2）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？
參考公式：回歸直線方程$\widehat{y}$=bx+a，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出變量x，y的平均數(shù)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)b，在根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸直線上，求出a的值，求得線性回歸方程；
（2）當(dāng)自變量為10時(shí)，代入線性回歸方程，求出維修費(fèi)用．

解答 解：（1）列表如下：

i	1	2	3	4	5
xi	2	3	4	5	6
yi	22	38	55	65	70
xiyi	44	114	220	325	420
$x_i^2$	4	9	16	25	36
$\overline x=4$，$\overline y=50$，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=90$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=1123$

$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=50，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=90$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=1123$，
于是b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{1123-5×4×50}{90×5×{4}^{2}}$=12.3，$a=\overline y-bx=50-12.3×4=0.8$，
$\widehat{y}$=bx+a=12.3x+0.8，
∴線性回歸方程為：$\widehat{y}$=12.3x+0.8，
（2）當(dāng)x=10時(shí)，$\widehat{y}$=12.3×10+0.8=123.8（萬元），
即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是123.8萬元．

點(diǎn)評 本題考查最小二乘法求回歸方程，考查回歸方程的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意散點(diǎn)圖的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．