Question

12．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA=2．
（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BE⊥AB，由PA⊥平面ABCD得出PA⊥BE，故而BE⊥平面PAB，于是結(jié)論得證；
（II）設(shè)AC，BD交點為O，以O(shè)為原點建立坐標系，求出兩個平面的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$，則|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞|即為所求．

解答 （I）證明：連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∵E是CD的中點，∴BE⊥CD，
∵CD∥AB，∴BE⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴PA⊥BE，又PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BE⊥平面PAB，又BE?平面PBE，
∴平面PBE⊥平面PAB．
（II）設(shè)AC∩BD=O，以O(shè)B所在直線為x軸，以O(shè)C所在直線為y軸，
以平面ABCD過O的垂線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），B（$\frac{1}{2}$，0，0），C（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），D（-$\frac{1}{2}$，0，0），
P（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），E（-$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AD}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2）．
設(shè)平面PAD的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），平面PBE的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$．
∴∴$\left\{\begin{array}{l}{2{z}_{1}=0}\\{-\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{4}{x}_{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}{y}_{2}=0}\\{-\frac{1}{2}{x}_{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{2}+2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$．
令x₁=$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，1，0），令x₂=1得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，$\sqrt{3}$，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∵平面PAD和平面PBE所成二面角為銳角，
∴平面PAD和平面PBE所成二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，空間角的計算與空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．