Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，有下列四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]上是增函數(shù)：
②點(diǎn)（$\frac{3π}{8}$，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；
③函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$得到；
④若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，$\sqrt{2}$]．
則所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)的圖象，①根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)增區(qū)間；
②根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心即可求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心；
③根據(jù)函數(shù)圖象的平移即可得到結(jié)論；
④根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和定義域即可求出值域，進(jìn)而得到正確結(jié)論的個(gè)數(shù)

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，畫出函數(shù)的圖象如圖所示
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為{x|-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈z}
即{x|-$\frac{3}{8}$π+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈z}，
∴區(qū)間[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]是函數(shù)f（x）一個(gè)增函數(shù)：故①正確，
∴函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心為2x+$\frac{π}{4}$=kπ，即x=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{8}$，
當(dāng)k=1時(shí)，x=$\frac{3π}{8}$，
∴點(diǎn)（$\frac{3π}{8}$，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故②正確，
對(duì)于③函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{8}$得到，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，$\sqrt{2}$]，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)稱性，同時(shí)要求學(xué)生掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（單調(diào)性，周期性，奇偶性，對(duì)稱性等）．