Question

8．若m個(gè)不全相等的正數(shù)a₁，a₂，…a_m依次圍成一個(gè)圓圈使每個(gè)a_k（1≤k≤m，k∈N）都是其左右相鄰兩個(gè)數(shù)平方的等比中項(xiàng)，則正整數(shù)m的最小值是6．

Answer 1

分析 由題意可得：${a}_{1}^{2}$=${a}_{2}^{2}$$•{a}_{m}^{2}$，1＜k＜m時(shí)，${a}_{k}^{2}$=${a}_{k-1}^{2}$•${a}_{k+1}^{2}$，a_i＞0（1≤i≤m）．可得：a₁=a₂a_m，a_k=a_k-1a_k+1．m=3，m=4，5，時(shí)，不符合題意，舍去．m=6時(shí)，取特殊例子即可得出．

解答 解：由題意可得：${a}_{1}^{2}$=${a}_{2}^{2}$$•{a}_{m}^{2}$，1＜k＜m時(shí)，${a}_{k}^{2}$=${a}_{k-1}^{2}$•${a}_{k+1}^{2}$，a_i＞0（1≤i≤m）．
∴a₁=a₂a_m，a_k=a_k-1a_k+1．
m=3時(shí)，a₁=a₂•a₃，a₂=a₁a₃，a₃=a₂a₁，可得：a₃=1=a₂=a₁，舍去．
同理可得：m=4，5，時(shí)，不符合題意，舍去．
m=6時(shí)滿足題意，a₁=a₂a₆，a₂=a₁a₃，…，a₅=a₄a₆，a₆=a₅a₁，
取a₁=12，a₂=2，a₃=$\frac{1}{6}$，a₄=$\frac{1}{12}$，a₅=$\frac{1}{2}$，a₆=6即可滿足條件．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、取特殊值法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．