Question

3．已知f（x）與g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g'（x），f（x）=a^x•g（x），$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{{f（{-1}）}}{{g（{-1}）}}$=$\frac{5}{2}$，有窮數(shù)列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}（n=1，2，…，8）中，任意取前k項(xiàng)相加，則前k項(xiàng)和大于$\frac{15}{16}$的概率等于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意和商的導(dǎo)數(shù)易得0＜a＜1，進(jìn)而可得{$\frac{f（n）}{g（n）}$}是以$\frac{f（1）}{g（1）}$=$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，q=$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，由求和公式可得k＞4，由概率公式可得．

解答 解：由題意可得[$\frac{f（x）}{g（x）}$]′=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g'（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，
∴$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x單調(diào)遞減，∴0＜a＜1，
又∵$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{{f（{-1}）}}{{g（{-1}）}}$=$\frac{5}{2}$，∴a+a^-1=$\frac{5}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$，或a=2（舍去），∴$\frac{f（x）}{g（x）}$=（$\frac{1}{2}$）^x，
∴共8項(xiàng)的有窮數(shù)列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}是以$\frac{f（1）}{g（1）}$=$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，q=$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴數(shù)列的前k項(xiàng)和為$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{k}]}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）^k，
令1-（$\frac{1}{2}$）^k＞$\frac{15}{16}$，可解得k＞4，
∴所求概率P=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查古典概型及其概率公式，涉及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性以及等比數(shù)列的求和公式，屬中檔題．