Question

6．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求證：BD₁⊥平面AB₁C；
（2）求AB與平面AB₁C所成的角．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BD₁⊥平面AB₁C．
（2）求出$\overrightarrow{AB}$和平面AB₁C的法向量，利用向量法能求出AB與平面AB₁C所成的角．

解答 證明：（1）設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為1，
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（1，1，0），D₁（0，0，1），A（1，0，0），B₁（1，1，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=0-1+1=0，$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{AC}$=1-1+0=0，
∴BD₁⊥AB₁，BD₁⊥AC，
又AB₁∩AC=A，∴BD₁⊥平面AB₁C．
解：（2）$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0），
設(shè)平面AB₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
設(shè)AB與平面AB₁C所成的角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴θ=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴AB與平面AB₁C所成的角為arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．