Question

冪函數(shù)f（x）的圖象在點A（1，f（1））處的切線斜率為3，且關(guān)于x的不等式f（x）＞ax²+x在（2，4）上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為 （　　）

• A、[

  15

  4

  ，+∞）
• B、（

  15

  4

  ，+∞）
• C、（-∞，

  3

  2

  ）
• D、（-∞，

  3

  2

  ]

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)出冪函數(shù)f（x），求出導(dǎo)數(shù)，由f′（1）=3，求得f（x），則不等式f（x）＞ax²+x在（2，4）上恒成立，即為a＜x-

1

x

在（2，4）上恒成立，求得右邊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求出值域，即可得到a的范圍．

解答： 解：設(shè)冪函數(shù)f（x）=xⁿ，
則f′（x）=nx^n-1，
在點A（1，f（1））處的切線斜率為3，
則有n=3，
即有f（x）=x³，
關(guān)于x的不等式x³＞ax²+x在（2，4）上恒成立，
即為a＜x-

1

x

在（2，4）上恒成立，
由于x-

1

x

的導(dǎo)數(shù)1+

1

x2

＞0，即有（2，4）為增區(qū)間，
即有

3

2

＜x-

1

x

＜

15

4

，
則有a≤

3

2

．
故選：D．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點處的切線的斜率，考查不等式恒成立思想轉(zhuǎn)化為求最值或值域問題，考查函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用，屬于中檔題和易錯題．