Question

15．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax-1（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若對任意的x∈[0，+∞），均有f（x）≥f（-x），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）問題等價于e^x-e^-x+2ax≥0恒成立，令h（x）=e^x-e^-x+2ax（x≥0），通過討論a判斷h（x）的單調性，從而得到答案．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+a
當a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；
當a＜0時，由f′（x）＞0得 x＞ln（-a），
所以f（x）在（ln（-a），+∞）上單調遞增，在（-∞，ln（-a））上單調遞減，
綜上可知，當a≥0時，f（x）的單調增區(qū)間是（-∞，+∞）；
當a＜0時，f（x）的單調增區(qū)間是（ln（-a），+∞），f（x）的單調減區(qū)間是（-∞，ln（-a））；
（2）當x≥0時，f（x）≥f（-x）即e^x+ax≥e^-x-ax恒成立，
等價于e^x-e^-x+2ax≥0恒成立令h（x）=e^x-e^-x+2ax（x≥0），
則$h′（x）={e}^{x}+{e}^{-x}+2a≥2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}+2a=2+2a$，當且僅當x=0時，等號成立，
①當a＞-1時，h′（x）＞0，∴h（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，故h（x）≥h（0）=0恒成立，
②當a=-1時，若x=0，則h′（x）=0；若x＞0，則h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)故h（x）≥h（0）=0恒成立，
③當a＜-1時，方程h′（x）=0的正根為${x_1}=ln（-a+\sqrt{{a^2}-1}）$，此時，若x∈（0，x₁），
則 h′（x）＜0，故h（x）在該區(qū)間為減函數(shù)，
所以當x∈（0，x₁）時，h（x）＜h（0）=0，這與h（x）≥0恒成立矛盾；
綜上可知，滿足條件a的取值范圍是[-1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性，考查了函數(shù)恒成立問題，考查轉化思想，是一道中檔題．