Question

20．已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，若PA=AB=2，AC=1，∠BAC=120°，且PA⊥平面ABC，則球O的表面積為（　�。�

• A． $\frac{40π}{3}$
• B． $\frac{50π}{3}$
• C． 12π
• D． 15π

Answer 1

分析 求出BC，可得△ABC外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積．

解答 解：∵AB=2，AC=1，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}-2×2×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{7}$，
∴三角形ABC的外接圓直徑2r=$\frac{\sqrt{7}}{sin120°}$=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∵PA⊥面ABC，PA=2，
由于三角形OPA為等腰三角形，
則有該三棱錐的外接球的半徑R=$\sqrt{{r}^{2}+（\frac{1}{2}×2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{3}$，
∴該三棱錐的外接球的表面積為S=4πR²=4π×（$\frac{\sqrt{30}}{3}$）²=$\frac{40π}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查三棱錐的外接球表面積，考查直線和平面的位置關系，確定三棱錐的外接球的半徑是關鍵．