Question

20．已知（2$\sqrt{x}$i+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ，i是虛數(shù)單位，x＞0，n∈N^*．
（1）如果展開式中的倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)是-180，求n的值；
（2）對(duì)（1）中的n，求展開式中系數(shù)為正實(shí)數(shù)的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二項(xiàng)式的展開式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)，列出方程，求出n的值；
（2）由（1）中n的值，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求出展開式中系數(shù)為正實(shí)數(shù)的項(xiàng)．

解答 解：（1）∵（2$\sqrt{x}$i+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ，i是虛數(shù)單位，x＞0，n∈N^*．
∴其展開式中的倒數(shù)第3項(xiàng)為
${C}_{n}^{n-2}$•${（2\sqrt{x}i）}^{2}$•${（\frac{1}{{x}^{2}}）}^{n-2}$=-4${C}_{n}^{2}$•x^5-2n；
它的系數(shù)是-4${C}_{n}^{2}$=-180，
即${C}_{n}^{2}$=45，
解得n=10；
（2）當(dāng)n=10時(shí)，
T_r+1=${C}_{10}^{r}$•${（2\sqrt{x}i）}^{10-r}$•${（\frac{1}{{x}^{2}}）}^{r}$
=${C}_{10}^{r}$•2^10-r•i^10-r•${x}^{5-\frac{5}{2}r}$，
令10-r=0、4、8，
得r=10、6、2；
∴當(dāng)r=10時(shí)，T₁₁=x^-20，
r=6時(shí)，T₇=${C}_{10}^{6}$•2⁶•x^-5，
r=2時(shí)，T₃=${C}_{10}^{2}$•2⁸；
∴展開式中系數(shù)為正實(shí)數(shù)的項(xiàng)為
T₁₁=x^-20，T₇=${C}_{10}^{6}$•2⁶•x^-5，T₃=${C}_{10}^{2}$•2⁸．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算問題，是綜合題目．