Question

12．如圖所示，四邊形ABCD中，AB=1，AD=7，BC=CD=5，∠BAD=∠BCD=90°．
（1）求AC的長；
（2）E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得AC²=25+1-10cosB①，AC²=25+49-70cosD②，由此求AC的長；
（2）E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，利用平行四邊形的對角線的平方和等于四條邊的平方和，即可求EF的長．

解答 解：（1）由余弦定理可得AC²=25+1-10cosB①，AC²=25+49-70cosD②，
①×7+②，可得8AC²=256，∴AC=4$\sqrt{2}$；
（2）由（1）可得cosD=$\frac{3}{5}$，
CF²=25+$\frac{49}{4}$-2×$5×\frac{7}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{65}{4}$，BF²=1+$\frac{49}{4}$=$\frac{53}{4}$，
∴25+4EF²=2（$\frac{65}{4}+\frac{53}{4}$），
∴EF=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，正確運(yùn)用余弦定理、平行四邊形的對角線的平方和等于四條邊的平方和是關(guān)鍵．