Question

17．已知數(shù)列{a_n}前n項和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式：
（2）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n對?n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先證明數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列；要證明數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差數(shù)列，先根據(jù)s_n-s_n-1=a_n，用作差法得到a_n，a_n-1的關(guān)系，再用定義證明，即可得到通項公式；
（2）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n對?n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍，用分離參數(shù)法，5-λ＞$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$對?n∈N^*恒成立，根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特征，即可求出λ的取值范圍．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
∴n=1時，S₁=a₁=2a₁-4，解得a₁=4，
當(dāng)n≥2時，
∴S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，
∴S_n-S_n-1=2a_n-2ⁿ⁺¹-2a_n-1+2ⁿ=a_n，
∴a_n=2a_n-1+2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+{2}^{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
∵$\frac{{a}_{1}}{2}$=$\frac{4}{2}$=2
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+1×（n-1）=n+1，
∴a_n=（n+1）2ⁿ；
當(dāng)n=1時，成立．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=（n+1）2ⁿ；
（2）∵不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n對?n∈N^*恒成立，
∴2n²-n-3=（n+1）（2n-3）＜（5-λ）（n+1）2ⁿ對?n∈N^*恒成立，
∴5-λ＞$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$對?n∈N^*恒成立，
設(shè)b_n=$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$，
則b₁=-$\frac{1}{2}$，b₂=$\frac{1}{4}$，b₃=$\frac{3}{8}$，b₄=$\frac{5}{16}$，
當(dāng)n≥4時，b_n-b_n-1=$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$-$\frac{2n-5}{{2}^{n-1}}$=$\frac{7-2n}{{2}^{n}}$＜0，
∴當(dāng)n≥3時，數(shù)列{b_n}為遞減數(shù)列，
∴當(dāng)n=3時，數(shù)列{b_n}有最大值，最大值為$\frac{3}{8}$，
∴5-λ＞$\frac{3}{8}$，
∴λ＜$\frac{37}{8}$．

點評 本題考查了通項公式與前n項和公式的關(guān)系，等差數(shù)列的定義的應(yīng)用．恒成立問題主要利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求最值問題解決．