Question

7．設函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x滿足f（x）=-f（x+2），且當0≤x≤2時，f（x）=x（2-x），若關于x的方程f（x）=kx有3個不等的實數(shù)解，則k的取值范圍是（10-4$\sqrt{6}$，2）．

Answer 1

分析 先確定函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，再將問題等價方程f（x）僅有唯一實數(shù)根，并結合函數(shù)的圖象與判別式得出k的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=-f（x+2），∴f（x+4）=f（x），
即f（x）是以4為周期的函數(shù)，
因為，當x∈[0，2]時，f（x）=x（2-x），
所以，x∈[-2，0]時，x+2∈[0，2]，
所以，f（x）=-f（x+2）=x（x+2），
∴f（x）在一個周期內的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（2-x），x∈[0，2]}\\{x（2+x），x∈[-2，0）}\end{array}\right.$，如右圖，
依題意，方程f（x）=kx有三個不等的實根，
則該方程一根為負，一根為正，一根為0，即f（x）=kx只有唯一一個正實數(shù)根，
當x∈[4，6]時，x-4∈[0，2]，
所以，f（x）=f（x-4）=（x-4）（6-x），
令（x-4）（6-x）=kx，整理得，x²+（k-10）x+24=0，
由△=0，解得k=10-4$\sqrt{6}$（舍k=10+4$\sqrt{6}$），
此時，直線y=（10-4$\sqrt{6}$）x與f（x）的圖象相切，共有5個交點，如圖藍色直線，
所以，k＞10-4$\sqrt{6}$，------------------①
另一方面，函數(shù)f（x）=x（2-x）在x=0處的導數(shù)為f'（0）=2，
即直線y=2x與f（x）的圖象只有一個交點，如圖紅色直線，
所以，k＜2，------------------------②
當2＜x＜4時，-2＜x-4＜0，f（x-4）=（x-4）（x-2），可得f（x）=f（x-4）=x²-6x+8，
由x²-6x+8=kx，可得判別式為（6+k）²-32=0，
解得k=4$\sqrt{2}$-6（-4$\sqrt{2}$-6舍去），
當直線y=kx（k＜0）與y=f（x）相切可得4$\sqrt{2}$-6．
綜合以上討論得，k∈（10-4$\sqrt{6}$，2）．
故答案為：（10-4$\sqrt{6}$，2）∪{4$\sqrt{2}$-6}．

點評 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應用，涉及函數(shù)周期性的判斷與應用，函數(shù)的圖象與性質，以及函數(shù)零點個數(shù)的判斷，屬于中檔題．