【題目】已知拋物線:,點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),焦點(diǎn)到直線的距離為,焦點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為,且.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若在軸上存在點(diǎn),過點(diǎn)的直線分別與拋物線相交于,兩點(diǎn),且為定值,求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)先求得點(diǎn)的坐標(biāo),由點(diǎn)到直線距離公式求得,由拋物線的定義求得,根據(jù)的值列方程,解方程求得的值,由此求得拋物線方程.(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程,消去得到關(guān)于的一元二次方程,寫出判別式和韋達(dá)定理.化簡的表達(dá)式,根據(jù)為定值求得的值,由此求得點(diǎn)的坐標(biāo).
解:(1)由題意知,焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,
又,解得:.
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,
顯然直線的斜率不為0.
設(shè)直線的方程為.
聯(lián)立方程,消去,并整理得,
則且,.
由,.
有.
若為定值,必有.
所以當(dāng)為定值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一,他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù),并作為計(jì)算圓的周長,面積已經(jīng)圓周率的基礎(chǔ),劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值,這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確數(shù)據(jù).如圖,當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時(shí),某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法向圓內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn),計(jì)算得出該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269,那么通過該實(shí)驗(yàn)計(jì)算出來的圓周率近似值為(參考數(shù)據(jù):)
A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過點(diǎn)P(3,﹣4)作圓(x﹣1)2+y2=2的切線,切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB的方程為( )
A.x+2y﹣2=0B.x﹣2y﹣1=0C.x﹣2y﹣2=0D.x+2y+2=0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一商家誠邀甲、乙兩名圍棋高手進(jìn)行一場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)國棋比賽,每比賽一局商家要向每名棋手支付2000元對(duì)局費(fèi),同時(shí)商家每局從轉(zhuǎn)讓網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)播權(quán)及廣告宣傳中獲利12100元,從兩名棋手以往比賽中得知,甲每局獲勝的概率為,乙每局獲勝的概率為,兩名棋手約定:最多下五局,先連勝兩局者獲勝,比賽結(jié)束,比賽結(jié)束后,商家為獲勝者頒發(fā)5000元的獎(jiǎng)金,若沒有決出獲勝者則各頒發(fā)2500元.
(1)求下完五局且甲獲勝的概率是多少;
(2)求商家從這場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)棋賽中獲得的收益的數(shù)學(xué)期望是多少.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
在極坐標(biāo)系中,為極點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn).
(1)以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,求經(jīng)過,,三點(diǎn)的圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)在(1)的條件下,圓的極坐標(biāo)方程為,若圓與圓相切,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列中,,且對(duì)任意,都有.
(1)計(jì)算,,,由此推測(cè)的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(2)若(),求無窮數(shù)列的前項(xiàng)之和與的最大項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】伴隨著科技的迅速發(fā)展,國民對(duì)“5G”一詞越來越熟悉,“5G”全稱是第五代移動(dòng)電話行動(dòng)通信標(biāo)準(zhǔn),也稱第五代移動(dòng)通信技術(shù)。2017年12月10日,工信部正式對(duì)外公布,已向中國電倌、中國移動(dòng)、中國聯(lián)通發(fā)放了5G系統(tǒng)中低頻率使用許可。2019年2月18日上海虹橋火車站正式啟動(dòng)5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè)。為了了解某市市民對(duì)“5G”的關(guān)注情況,通過問卷調(diào)查等方式研究市民對(duì)該市300萬人口進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,數(shù)據(jù)分析結(jié)果顯示:約60%的市民“掌握一定5G知識(shí)(即問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)在80分以上)”將這部分市民稱為“5G愛好者”。某機(jī)構(gòu)在“5G愛好者”中隨機(jī)抽取了年齡在15-45歲之間的100人按照年齡分布(如圖所示),其分組區(qū)間為:,,,,,.
(1)求頻率直方圖中的a的值;
(2)估計(jì)全市居民中35歲以上的“5G愛好者”的人數(shù);
(3)若該市政府制定政策:按照年齡從小到大,選拔45%的“5G愛好者”進(jìn)行5G的專業(yè)知識(shí)深度培養(yǎng),將當(dāng)選者稱成按照上述政策及頻率分布直方圖,估計(jì)該市“5G達(dá)人”的年齡上限.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】工廠質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上每半個(gè)小時(shí)抽取一件產(chǎn)品并對(duì)其某個(gè)質(zhì)量指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè),一共抽取了件產(chǎn)品,并得到如下統(tǒng)計(jì)表.該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在一年內(nèi)所需的維護(hù)次數(shù)與指標(biāo)有關(guān),具體見下表.
質(zhì)量指標(biāo) | |||
頻數(shù) | |||
一年內(nèi)所需維護(hù)次數(shù) |
(1)以每個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值作為每組指標(biāo)的代表,用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該廠產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的平均值(保留兩位小數(shù));
(2)用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取件產(chǎn)品,再從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件產(chǎn)品,求這件產(chǎn)品的指標(biāo)都在內(nèi)的概率;
(3)已知該廠產(chǎn)品的維護(hù)費(fèi)用為元/次,工廠現(xiàn)推出一項(xiàng)服務(wù):若消費(fèi)者在購買該廠產(chǎn)品時(shí)每件多加元,該產(chǎn)品即可一年內(nèi)免費(fèi)維護(hù)一次.將每件產(chǎn)品的購買支出和一年的維護(hù)支出之和稱為消費(fèi)費(fèi)用.假設(shè)這件產(chǎn)品每件都購買該服務(wù),或者每件都不購買該服務(wù),就這兩種情況分別計(jì)算每件產(chǎn)品的平均消費(fèi)費(fèi)用,并以此為決策依據(jù),判斷消費(fèi)者在購買每件產(chǎn)品時(shí)是否值得購買這項(xiàng)維護(hù)服務(wù)?
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