Question

4．設(shè)F為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，直線l與其交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于P點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，則$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{FP}$等于（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 令直線x=my+a（a≠0）與拋物線y²=4x相交于A，B，兩點(diǎn)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，結(jié)合以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，先求出P點(diǎn)坐標(biāo)，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而代入向量的數(shù)量積公式，可得答案．

解答 解：令直線x=my+a（a≠0）與拋物線y²=4x相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)．
由x=my+a，代入y²=4x得：y²-4my-4a=0
于是，y₁、y₂是此方程的兩實(shí)根，由韋達(dá)定理得：y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4a，
x₁x₂=（my₁+a）（my₂+a）=m²y₁y₂+ma（y₁+y₂）+a²=a²，
又∵以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，
∴OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0
∴a²-4a=0，又a≠0，
∴a=4，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
又由F點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
故$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{FP}$=（1，0）•（3，0）=3，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒過(guò)定點(diǎn)的直線，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，求得a的值是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于中檔題．