Question

已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝x2－bx(b為常數(shù))．

(1)函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)與g(x)的圖像相切，求實(shí)數(shù)b的值；

(2)設(shè)h(x)＝f(x)＋g(x)，若函數(shù)h(x)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

(3)若b>1，對(duì)于區(qū)間[1,2]上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|>|g(x1)－g(x2)|成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

 

Answer 1

（1）－1±

（2）(2，＋∞)

（3）

【解析】【解析】
(1)因?yàn)閒(x)＝ln x，所以f′(x)＝，因此f′(1)＝1，所以函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為y＝x－1.

由

消去y，得x2－2(b＋1)x＋2＝0.

所以Δ＝4(b＋1)2－8＝0，

解得b＝－1±.

(2)因?yàn)閔(x)＝f(x)＋g(x)

＝ln x＋x2－bx(x>0)，

所以h′(x)＝＋x－b＝.

由題意知，h′(x)<0在(0，＋∞)上有解．

因?yàn)閤>0，設(shè)u(x)＝x2－bx＋1，

則u(0)＝1>0，

所以，解得b>2.

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是(2，＋∞)．

(3)不妨設(shè)x1>x2.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ln x在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，所以f(x1)>f(x2)，函數(shù)g(x)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝b，且b>1.

(ⅰ)當(dāng)b≥2時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，所以g(x1)<g(x2)，所以|f(x1)－f(x2)|>|g(x1)－g(x2)|等價(jià)于f(x1)－f(x2)>g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)>f(x2)＋g(x2)，等價(jià)于h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋x2－bx(x>0)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，即等價(jià)于h′(x)＝＋x－b≥0在區(qū)間[1,2]上恒成立，亦等價(jià)于b≤x＋在區(qū)間[1,2]上恒成立，所以b≤2.

又b≥2，所以b＝2；

(ⅱ)當(dāng)1<b<2時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，b]上是減函數(shù)，在[b,2]上為增函數(shù)．

①當(dāng)1≤x2<x1≤b時(shí)，|f(x1)－f(x2)|>|g(x1)－g(x2)|等價(jià)于f(x1)－f(x2)>g(x2)－g(x1)，等價(jià)于f(x1)＋g(x1)>f(x2)＋g(x2)，等價(jià)于h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋x2－bx(x>0)在區(qū)間[1，b]上是增函數(shù)，等價(jià)于h′(x)＝＋x－b≥0在區(qū)間[1，b]上恒成立，等價(jià)于b≤x＋在區(qū)間[1，b]上恒成立，所以b≤2.

又1<b<2，所以1<b<2；

②當(dāng)b≤x2<x1≤2時(shí)，|f(x1)－f(x2)|>|g(x1)－g(x2)|等價(jià)于f(x1)－f(x2)>g(x1)－g(x2)等價(jià)于f(x1)－g(x1)>f(x2)－g(x2)，等價(jià)于H(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－x2＋bx在區(qū)間[b,2]上是增函數(shù)，等價(jià)于H′(x)＝－x＋b≥0在區(qū)間[b,2]上恒成立，等價(jià)于b≥x－在區(qū)間[b,2]上恒成立，所以b≥，故≤b<2；

③當(dāng)1≤x2<b<x1≤2時(shí)，由g(x)圖像的對(duì)稱(chēng)性知，只要|f(x1)－f(x2)|>|g(x1)－g(x2)|對(duì)于①②同時(shí)成立，那么對(duì)于③，

則存在t1∈[1，b]，使|f(x1)－f(x2)|>|f(t1)－f(x2)|>|g(t1)－g(x2)|＝|g(x1)－g(x2)|恒成立；

或存在t2∈[b,2]，使|f(x1)－f(x2)|>

|f(x1)－f(t2)|>|g(x1)－g(t2)|＝

|g(x1)－g(x2)|恒成立．

因此≤b<2.

綜上所述，實(shí)數(shù)b的取值范圍是.