Question

19．將體積為1的四面體第一次挖去以各棱中點為頂點的構(gòu)成的多面體，第二次再將剩余的每個四面體均挖去以各棱中點為頂點的構(gòu)成的多面體，如此下去，共進行了n（n∈N^*）次，則第一次挖去的幾何體的體積是$\frac{1}{2}$，這n次共挖去的所有幾何體的體積和是$1-\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，先求出挖去一個角所在四面體的體積，得到挖去四個四面體的體積，由此分析可知每一次挖去的幾何體的體積構(gòu)成以$\frac{1}{2}$為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列的前n項和求得n次共挖去的所有幾何體的體積和．

解答 解：如圖，

設(shè)四面體A-BCD的底面積為S，高AO=h₁，
挖去以三條棱的中點E、F、G及A為頂點的四面體，挖去的四面體的體積為原四面體A-BCD體積的八分之一，
其它三個角挖去四面體的體積也等于原四面體A-BCD體積的八分之一，
則第一次挖去的幾何體的體積為原四面體體積的一半，等于$\frac{1}{2}$；
依此類推，第二次挖去的幾何體的體積為$\frac{1}{4}$，即每一次挖去的幾何體的體積構(gòu)成以$\frac{1}{2}$為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴n次共挖去所有幾何體的體積和為：S=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$；1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點評 點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，考查了等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．