Question

4．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$經(jīng)過點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求C的方程
（2）設(shè)直線l與C相切于點T，且交兩坐標(biāo)軸的正半軸于A，B兩點，求|AB|的最小值及此時點T的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由已知條件即可得到方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{c}^{2}={a}^{2}-^{2}}\end{array}\right.$，解方程組即得a=2，b=1，從而得到橢圓C的方程；
（2）設(shè)出直線l的截距式方程$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$，聯(lián)立橢圓的方程消去x可以得到關(guān)于y的方程，該方程應(yīng)有二重根，此時△=0，這樣即可得到關(guān)于m，n的式子m²+4n²-m²n²=0．根據(jù)已知條件知道m(xù)＞2，這樣便可求得${n}^{2}=\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}-4}$=$1+\frac{4}{{m}^{2}-4}$，根據(jù)基本不等式即可得到m²+n²≥9，這樣即可求出|AB|的最小值，并且可求出此時的m，n，也就能得到直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程解方程組即可求出切點T．

解答 解：（1）根據(jù)已知條件得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{c}^{2}={a}^{2}-^{2}}\end{array}\right.$；
∴解得a=2，b=1；
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)直線l的方程為$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$，m，n＞0；
∴由方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1}\end{array}\right.$得：
（m²+4n²）y²-2m²ny+n²（m²-4）=0；
直線l與C相切；
∴△=4m⁴n²-4n²（m²+4n²）（m²-4）=0；
化簡得m²+4n²-m²n²=0；
∵m＞2；
∴${n}^{2}=\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}-4}$；
∴${m}^{2}+{n}^{2}={m}^{2}+\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}-4}$=${m}^{2}-4+\frac{4}{{m}^{2}-4}+5≥9$；
當(dāng)且僅當(dāng)${m}^{2}-4=\frac{4}{{m}^{2}-4}$時取“=”，即$m=\sqrt{6}，n=\sqrt{3}$；
∴$|AB|=\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}≥3$，即|AB|的最小值為3；
此時由方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{\frac{x}{\sqrt{6}}+\frac{y}{\sqrt{3}}=1}\end{array}\right.$解得切點T（$\frac{2\sqrt{6}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

點評 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓離心率的概念，c²=a²-b²，以及直線的截距式方程，直線和橢圓相切時對應(yīng)方程組只有一個解，基本不等式用于求最值，以及通過解方程組求切點的方法．