Question

18．已知點(diǎn)G是圓F：（x+2）²+y²=4上任意一點(diǎn)，R（2，0），線(xiàn)段GR的垂直平分線(xiàn)交直線(xiàn)GF于H．
（1）求點(diǎn)H的軌跡C的方程；
（2）點(diǎn)M（1，0），P、Q是軌跡C上的兩點(diǎn)，直線(xiàn)PQ過(guò)圓心F（-2，0），且F在線(xiàn)段PQ之間，求△PQM面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，點(diǎn)H的軌跡是中心在原點(diǎn)，以F、R為焦點(diǎn)，2a=2的雙曲線(xiàn)，即可求點(diǎn)H的軌跡C的方程；
（2）分類(lèi)討論，直線(xiàn)方程代入雙曲線(xiàn)方程，求出面積，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）圓C的圓心為F（-2，0），半徑r=2，|FR|=4．
連結(jié)HR，由已知得|HR|=|HG|，
∵||HF|-|HR||=||HF|-|HG||=|FG|=r=2＜|FR|．
根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，點(diǎn)H的軌跡是中心在原點(diǎn)，以F、R為焦點(diǎn)，2a=2的雙曲線(xiàn)，
即a=1，c=2，b²=3，
∴點(diǎn)H的軌跡C的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1…（5分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
若PQ⊥x軸，則直線(xiàn)PQ：x=-2，代入C的方程，可得y₁=3，y₂=-3，
S_△PQM=S_△PFM+S_△QFM=$\frac{1}{2}×6×3$=9…（7分）
若PQ不垂直于x軸，設(shè)直線(xiàn)PQ：y=k（x+2）
∵F在P、Q兩點(diǎn)之間，∴P、Q在雙曲線(xiàn)的左支上，且y₁y₂＜0
雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y=±$\sqrt{3}$x，|k|＞$\sqrt{3}$，
y=k（x+2）與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，可得（3-k²）y²-12ky+9k²=0，
∴y₁y₂=$\frac{9{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{12k}{3-{k}^{2}}$，
∴|y₁-y₂|=6$\sqrt{1+\frac{7}{{k}^{2}-3}+\frac{12}{（{k}^{2}-3）^{2}}}$＞6，
∴S_△PQM=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂||FM|=$\frac{3}{2}$|y₁-y₂|＞9，
綜上，△PQM面積的最小值為9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題．