Question

20．某學(xué)科測(cè)試中要求考生從A，B，C三道題中任選一題作答，考試結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示共有600名學(xué)生參加測(cè)試，選擇A，B，C三題答卷數(shù)如表：

題	A	B	C
答卷數(shù)	180	300	120

（Ⅰ）某教師為了解參加測(cè)試的學(xué)生答卷情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從600份答案中抽出若干份答卷，其中從選擇A題作答的答卷中抽出了3份，則應(yīng)分別從選擇B，C題作答的答卷中各抽出多少份？
（Ⅱ）若在（Ⅰ）問(wèn)中被抽出的答卷中，A，B，C三題答卷得優(yōu)的份數(shù)都是2，從被抽出的A，B，C三題答卷中再各抽出1份，求這3份答卷中恰有1份得優(yōu)的概率；
（Ⅲ）測(cè)試后的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，B題的答卷得優(yōu)的有100份，若以頻率作為概率，在（Ⅰ）問(wèn)中被抽出的選擇B題作答的答卷中，記其中得優(yōu)的份數(shù)為X，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （I）由$\frac{180}{3}$=60可知：每60份試卷抽一份，即可得出；
（II）記事件M：被抽出的A、B、C三種答卷中分別再任取出1份，這3份答卷中恰有1份得優(yōu)，可知只能C題答案為優(yōu)，利用相互獨(dú)立試卷的概率計(jì)算公式即可得出；
（Ⅲ）由題意可知，B題答案得優(yōu)的概率為$\frac{1}{3}$，顯然被抽出的B題的答案中得優(yōu)的份數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，4，5，且X～B$（5，\frac{1}{3}）$．利用P（X=k）=${∁}_{5}^{k}（\frac{1}{3}）^{k}（\frac{2}{3}）^{5-k}$（k=0，1，2，3，4，5），及其E（X）=np即可得出分布列及其數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得：

題	A	B	C
答卷數(shù)	180	300	230
抽出的答卷數(shù)	3	5	2

應(yīng)分別從B、C題的答卷中抽出5份，2份．
（Ⅱ）記事件M：被抽出的A、B、C三種答卷中分別再任取出1份，這3份答卷中恰有1份得優(yōu)，可知只能C題答案為優(yōu)，依題意P（M）=$\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×1$=$\frac{1}{5}$．
（Ⅲ）由題意可知，B題答案得優(yōu)的概率為$\frac{1}{3}$，顯然被抽出的B題的答案中得優(yōu)的份數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，4，5，且X～B$（5，\frac{1}{3}）$．P（X=k）=${∁}_{5}^{k}（\frac{1}{3}）^{k}（\frac{2}{3}）^{5-k}$（k=0，1，2，3，4，5），可得P（X=0）=$\frac{32}{243}$，P（X=1）=$\frac{80}{243}$，P（X=2）=$\frac{80}{243}$，P（X=3）=$\frac{40}{243}$，P（X=4）=$\frac{10}{243}$，P（X=0）=$\frac{1}{243}$，
隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{1}{243}$

∴E（X）=np=$5×\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布列及其數(shù)學(xué)期望、分層抽樣、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．