Question

如圖（1），在邊長為2的等邊三角形ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，且AD=AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G，將△ABF沿AF折起，得到如圖（2）所示的三棱錐A-BCF，其中BC=

2

．

（Ⅰ）證明：CF⊥平面ABF；
（Ⅱ）當(dāng)AD=

4

3

時，求三棱錐F-DEG的體積V_F-DEG．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）可以通過證明AF⊥CF和CF⊥BF，從而證明CF⊥平面ABF；
（Ⅱ）在圖（2）中，AF⊥GE，AF⊥DG，又DG∩GE=G，可得AF⊥平面GDE，然后借助于體積公式進(jìn)行求解．

解答： （Ⅰ）證明：如圖（1），在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點，
∴AF⊥FC，∴BF=FC=

1

2

BC=1．
在圖（2）中，∵BC=

2

，∴BC²=BF²+FC²，∴∠BFC=90°，∴FC⊥BF．
又BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．…．（6分）
（Ⅱ）∵AD=

4

3

，∴BD=

2

3

，AD：DB=2：1，
在圖（2）中，AF⊥GE，AF⊥DG，又DG∩GE=G，∴AF⊥平面GDE．
在等邊三角形ABC中，AF=

3

2

AB=

3

，
∴FG=

1

3

AF=

3

3

，DG=

2

3

BF=

2

3

×1=

2

3

=GE，
∴S_△DGE=

1

2

DG•EG=

2

9

，∴V_FDEG=

1

3

S_△DGE•FG=

2 3

81

．…．（12分）

點評：本題重點考查了空間幾何體的體積公式、線面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．