Question

7．在平角坐標系xOy中，橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率$e=\frac{1}{2}$，且過點$（0，\sqrt{3}）$，橢圓C的長軸的兩端點為A，B，點P為橢圓上異于A，B的動點，定直線x=4與直線PA、PB分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在x軸上是否存在定點經(jīng)過以MN為直徑的圓，若存在，求定點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓經(jīng)過的點，求出b，利用橢圓的離心率求解，a，b，得到橢圓方程．
（2）設(shè)PA、PB的斜率分別為k₁，k₂，P（x₀，y₀），求出斜率的表達式，利用斜率乘積推出定值．得到MN的中點G（4，3k₁+k₂）．寫出以MN為直徑的圓的方程，通過令y=0，求解存在定點（1，0），（7，0）經(jīng)過以MN為直徑的圓．

解答 解：（1）$\left\{{\begin{array}{l}{{e^2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{1}{4}}\\{{b^2}=3}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=4}\\{{b^2}=3}\end{array}}\right.$，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（5分）
（2）設(shè)PA、PB的斜率分別為k₁，k₂，P（x₀，y₀），
取${k_1}=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}，{k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}$，${k_1}{k_2}=\frac{y_0^2}{x_0^2-4}=\frac{{3（1-\frac{x_0^2}{4}）}}{x_0^2-4}=\frac{{3•\frac{4-x_0^2}{4}}}{x_0^2-4}=-\frac{3}{4}$，…（7分）
由l_PA：y=k₁（x+2）知M（4，6k₁），由l_PB：y=k₂（x-2）知N（4，2k₂），
∴MN的中點G（4，3k₁+k₂）．
∴以MN為直徑的圓的方程為${（x-4）^2}+{（y-3{k_1}-{k_2}）^2}=\frac{1}{4}{（6{k_1}-2{k_2}）^2}={（3{k_1}-{k_2}）^2}$，
令y=0，∴${x^2}-8x+16+9k_1^2+6{k_1}{k_2}+k_2^2=9k_1^2-6{k_1}{k_2}+k_2^2$，
∴x²-8x+16+12k₁k₂=0，∴${x^2}-8x+16+12×（-\frac{3}{4}）=0$，
即x²-8x+7=0，解得x=7或x=1．
∴存在定點（1，0），（7，0）經(jīng)過以MN為直徑的圓．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．