Question

9．求函數(shù)f（x）=x²-2ax-1在[2，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 對二次函數(shù)配方求得對稱軸，討論區(qū)間與對稱軸的關(guān)系：a＜2和a=2、a＞2，判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-a²-1，對稱軸是x=a，
（1）當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
可得f（x）的最小值為f（2）=3-4a；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
可得f（x）的最小值為f（2）=-5；
（3）當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在[2，a]上是單調(diào)遞減函數(shù)，在[a，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
可得f（x）的最小值為f（a）=-a²-1．
綜上可得：當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）的最小值為3-4a；當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的最小值為-a²-1．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．