Question

設(shè)a=

∫

2 0

（1-3x²）dx+4，則（x²+

a

x

）⁶的展開(kāi)式中不含x³項(xiàng)的系數(shù)和是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,二項(xiàng)式定理

分析：先根據(jù)點(diǎn)積分求出a的值，再根據(jù)通項(xiàng)公式求出含x³項(xiàng)的系數(shù)和，根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式定理，令x=1，求出展開(kāi)式的所有項(xiàng)得系數(shù)和為1，問(wèn)題得以解決．

解答： 解：a=

∫

2 0

（1-3x²）dx=（x-x³）

|

2 0

+4=2-8+4=-2，
∴(x2+

-2

x

)6展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)Tr+1=

c

r 6

•(-2)r•x12-3r．
令12-3r=3得r=3，
故x³項(xiàng)系數(shù)為

c

3 6

•(-2)3=-160，
令x=1，則展開(kāi)式的所有項(xiàng)得系數(shù)和為（1-2）⁶=1
故不含x³項(xiàng)系數(shù)為1-（-160）=161．
故答案為：161．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式展開(kāi)式定理，屬于基礎(chǔ)題．