Question

9．已知實(shí)數(shù)a＞0，b＞0，函數(shù)f（x）=ax²+b滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有f（xy）+f（x+y）≥f（x）f（y），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1]
• B． （0，1）
• C． （0，2）
• D． （0，2]

Answer 1

分析 令x=y，可得f（x²）+f（2x）≥f²（x），即有ax⁴+b+4ax²+b≥a²x⁴+2abx²+b²，即為（a-a²）x⁴+（4a-2ab）x²+2b-b²≥0，討論二次項(xiàng)的系數(shù)為0和大于0，結(jié)合單調(diào)性，即可得到所求a的范圍．

解答 解：令x=y，可得f（x²）+f（2x）≥f²（x），
即有ax⁴+b+4ax²+b≥a²x⁴+2abx²+b²，
即為（a-a²）x⁴+（4a-2ab）x²+2b-b²≥0，
當(dāng)a-a²=0，即a=1，（4-2b）x²+2b-b²≥0，
當(dāng)2-b≥0即b≤2時(shí)，不等式恒成立；
當(dāng)a-a²＞0，即0＜a＜1時(shí)，2b-b²≥0，即b≤2，
且-$\frac{4a-2ab}{a-{a}^{2}}$≤0，成立．
綜上可得a的范圍是（0，1）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，同時(shí)考查不等式恒成立問題，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，屬于中檔題．