Question

20．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有下列命題：①（$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）²=3$\overrightarrow{AB}$²；②$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•（$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$-$\overrightarrow{{A}_{1}A}$）=0；③$\overrightarrow{A{D}_{1}}$與$\overrightarrow{{A}_{1}B}$的夾角為60°，其中正確命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)空間向量的垂直和異面直線的所成的角即可求出．

解答 解：對于①（$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）²=（$\overrightarrow{A{A}_{1}}$）²+（$\overrightarrow{AD}$）²+（$\overrightarrow{AB}$）²+2$\overrightarrow{A{A}_{1}}$•$\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{A{A}_{1}}$•$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AB}$²，故正確，
對于②$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•（$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$-$\overrightarrow{{A}_{1}A}$）=$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overline{A{B}_{1}}$≠0，故錯誤，
對于③∵$\overline{{A}_{1}B}$∥$\overrightarrow{{D}_{1}C}$，AD₁，AC，D₁C，分別為面的對角線，∴∠AD₁C=60°，∴；③$\overrightarrow{A{D}_{1}}$與$\overrightarrow{{A}_{1}B}$的夾角為60°，故正確，
故選：C．

點評 本題考查了空間向量的垂直和異面直線的所成的角，屬于基礎題．