Question

14．已知p：“當x∈R時，不等式x²+mx+$\frac{m}{2}$+2≥0恒成立”；q：“拋物線y²=2mx（m＞0）的焦點到其頂點的距離大于$\frac{1}{2}$”．若p∨q是真命題，p∧q是假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)條件分別求出命題p，q為真命題．的等價條件，根據(jù)復合命題真假之間的關系進行求解即可．

解答 解：若當x∈R時，不等式x²+mx+$\frac{m}{2}$+2≥0恒成立，
則判別式△=m²-4（$\frac{m}{2}$+2）≤0，
即m²-2mx-8≤0，
即-2≤m≤4，即p：-2≤m≤4，
拋物線拋物線y²=2mx（m＞0）的焦點坐標F（$\frac{m}{2}$，0），則|OF|=$\frac{m}{2}$，
由|OF|=$\frac{m}{2}$＞$\frac{1}{2}$得m＞1，即q：m＞1，
則若p∨q是真命題，p∧q是假命題，
則p，q為一真一假，
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{-2≤m≤4}\\{0＜m≤1}\end{array}\right.$，則0＜m≤1，
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{m＞4或m＜-2}\\{m＞1}\end{array}\right.$，則m＞4，
綜上0＜m≤1或m＞4．

點評 本題主要考查復合命題真假的判斷和應用，根據(jù)條件求出命題的等價條件是解決本題的關鍵．