Question

16．已知PC為球O的直徑，A、B是球面上兩點(diǎn)，且AB=2，∠APC=∠BPC=$\frac{π}{4}$，若球O的表面積是16π，則三棱錐P-ABC的體積是（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． $4\sqrt{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意知OP=OC=OA=OB=4，∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=$\frac{π}{4}$，∠PAC=∠PBC=$\frac{π}{2}$，AO⊥PC，BO⊥PC，即可求出棱錐A-PBC的體積．

解答 解：如圖，由題意球O的表面積為16π，可得球的半徑為：2，
知OP=OC=OA=OB=AB=2，
∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=$\frac{π}{4}$，∠PAC=∠PBC=$\frac{π}{2}$，
AO⊥PC，BO⊥PC，
∴PC⊥平面AOB，
BP=BC=2$\sqrt{2}$，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4，
取BO中點(diǎn)D，連結(jié)AD，則AD⊥BO，
又PC⊥面AOB，AD?平面AOB，
∴AD⊥PC，
又BO∩PC=O，
∴AD⊥平面BPC，
∵AD=$\sqrt{3}$，
∴棱錐A-PBC的體積V=$\frac{1}{3}×4×\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的體積的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用．