Question

1．已知：a，b，c∈（-∞，0），求證：a+$\frac{1}$，b+$\frac{1}{c}$，c+$\frac{1}{a}$中至少有一個(gè)不大于-2．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意，通過(guò)反證法假設(shè)$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中沒(méi)有一個(gè)不大于-2，得出$a+\frac{1}＞-2$，$b+\frac{1}{c}＞-2$，$c+\frac{1}{a}＞-2$，即$（a+\frac{1}{a}）+（b+\frac{1}）+（c+\frac{1}{c}）＞-6$，然后根據(jù)基本不等式，得出$（a+\frac{1}{a}）+（b+\frac{1}）+（c+\frac{1}{c}）≤-6$，相互矛盾，即可證明．

解答 證明：假設(shè)$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中沒(méi)有一個(gè)不大于-2（2分）
即：$a+\frac{1}＞-2$，$b+\frac{1}{c}＞-2$，$c+\frac{1}{a}＞-2$（4分）
所以有$（a+\frac{1}）+（b+\frac{1}{c}）+（c+\frac{1}{a}）＞-2-2-2$
即$（a+\frac{1}{a}）+（b+\frac{1}）+（c+\frac{1}{c}）＞-6$（6分）
又因?yàn)閍＜0，b＜0，c＜0，則-a＞0，-b＞0，-c＞0
所以有$（-a）+（-\frac{1}{a}）≥2\sqrt{（-a）（-\frac{1}{a}）}=2$，（當(dāng)且僅當(dāng)$-a=-\frac{1}{a}$即a=-1時(shí)取等號(hào)）
$（-b）+（-\frac{1}）≥2\sqrt{（-b）（-\frac{1}）}=2$，（當(dāng)且僅當(dāng)$-b=-\frac{1}$即b=-1時(shí)取等號(hào)）
$（-c）+（-\frac{1}{c}）≥2\sqrt{（-c）（-\frac{1}{c}）}=2$，（當(dāng)且僅當(dāng)$-c=-\frac{1}{c}$即c=-1時(shí)取等號(hào)）
所以 $a+\frac{1}{a}≤-2$，$b+\frac{1}≤-2$，$c+\frac{1}{c}≤-2$（（8分））
所以$（a+\frac{1}{a}）+（b+\frac{1}）+（c+\frac{1}{c}）≤-6$（當(dāng)且僅當(dāng)2時(shí)取等號(hào)）
與$（a+\frac{1}{a}）+（b+\frac{1}）+（c+\frac{1}{c}）＞-6$矛盾
所以假設(shè)錯(cuò)誤，原命題正確．
所以$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中至少有一個(gè)不大于-2（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查反證法的應(yīng)用，涉及不等式的證明與基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．