Question

7．將函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，再將圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度得到函數(shù)y=sinx的圖象．
（1）直接寫出f（x）的表達(dá)式，并求出f（x）在[0，π]上的值域；
（2）求出f（x）在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，得出結(jié)論．
（2）根據(jù)f（x）的解析式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得，把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度得到y(tǒng)=sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
再把橫坐標(biāo)縮短為原來的2倍，可得y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）=cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）]=cos（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$）的圖象，
∴$f（x）=cos（\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}）$．
∵0≤x≤π，∴$-\frac{π}{3}≤\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{6}$，∴$\frac{1}{2}≤cos（\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}）≤1$，∴$f（x）∈[\frac{1}{2}，1]$，
當(dāng)x=0時，$f（x）=\frac{1}{2}$；當(dāng)$x=\frac{2π}{3}$時，f（x）=1．
（2）令$2kπ-π≤\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}≤2kπ$，k∈Z，解得$4kπ-\frac{4}{3}π≤x≤4kπ+\frac{2}{3}π$，k∈Z，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為$[4kπ-\frac{4}{3}π，4kπ+\frac{2}{3}π]$，k∈Z；
同理單調(diào)遞減區(qū)間為$[4kπ+\frac{2}{3}π，4kπ+\frac{8}{3}π]$，k∈Z，
∵x∈[0，π]，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[0，\frac{2π}{3}]$，單調(diào)遞減區(qū)間為$[\frac{2π}{3}，π]$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．