Question

已知函數(shù)f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；    
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）運用誘導(dǎo)公式、二倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡三角函數(shù)式，再由周期公式，即可得到；
（Ⅱ）由f（x）的表達(dá)式，及0≤x≤

π

2

，有-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，再運用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

），
即f（x）=sin²ωx+

3

sinωxcosωx，
則f(x)=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx
=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

，
∵T=

2π

2ω

=π，∴ω=1．
（Ⅱ）f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

．
∴0≤in(2x-

π

6

)+

1

2

≤

3

2

．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的取值范圍[0，

3

2

]．

點評：本題考查二倍角公式、兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式，周期公式，考查三角函數(shù)的值域，屬于中檔題．