Question

18．若數(shù)列{x_n}滿足：$\frac{1}{{{x_{n+1}}}}-\frac{1}{x_n}$=d（d為常數(shù)，n∈N*），則稱{x_n}為調(diào)和數(shù)列．已知數(shù)列{a_n}為調(diào)和數(shù)列，且a₁=1，$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}$=15．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）數(shù)列$\left\{{\frac{2^n}{a_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和為S_n，是否存在正整數(shù)n，使得S_n≥2015？若存在，求出n的取值集合；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$為等差數(shù)列，及$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}$=15，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過寫出S_n、2S_n的表達(dá)式，；利用錯(cuò)位相減法可得S_n，結(jié)合S_n遞增，計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$為等差數(shù)列，
由$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}$=15，
得：$\frac{5}{a_3}=15$，即$\frac{1}{a_3}=3$，
∴公差$d=\frac{{\frac{1}{a_3}-\frac{1}{a_1}}}{2}=1$，故$\frac{1}{a_n}=n$，
即${a_n}=\frac{1}{n}$；
（Ⅱ）${S_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+…+n×{2^n}$         ①
2S_n=1×2²+…+（n-1）2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹ ②
②-①得：${S_n}=n×{2^{n+1}}-（{2+{2^2}+…+{2^n}}）$=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
由于S_n是遞增的，當(dāng)n=7時(shí)，${S_7}=6×{2^8}+2＜2015$；
當(dāng)n=8時(shí)，${S_8}=7×{2^9}+2＞{2^{11}}＞2015$．
所以存在正整數(shù)m，使得S_n≥2015，
∴n的取值集合為{n|n≥8，n∈N^*}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．