Question

已知定義在區(qū)間（-1，1）上的函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是奇函數(shù)，且f（

1

2

）=

2

5

，
（1）確定f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并用定義證明；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件建立方程關(guān)系即可確定f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）的單調(diào)性并用定義證明；
（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系即可解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=b=0，
則f（x）=

ax

1+x2

，
∵f（

1

2

）=

2

5

，
∴f（

1

2

）=

1 2 a

1+( 1 2 )2

=

2

5

a=

2

5

，解得a=1，
即f（x）=

x

1+x2

；
（2）f（x）為增函數(shù)；
設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，-1＜x₁x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
即函數(shù)f（x）是增函數(shù)．
（3）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴不等式f（t-1）+f（t）＜0．
等價(jià)為f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
則等價(jià)為

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

，即

0＜t＜2 -1＜t＜1 t＜ 1 2

，解得0＜t＜

1

2

即原不等式的解集為（0，

1

2

）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的證明，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．