Question

16．已知圓C：（x-1）²+（y+2）²=9，直線(xiàn)l：y=kx+1，與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，并且OA⊥OB，求出直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 先設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)OA⊥OB得到兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再由韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積后代入所求的關(guān)系式，即可求出k的值，從而可求得直線(xiàn)方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
∴（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0
將y=kx+1代入圓方程得：（1+k²）x²+2（3k-1）x+1=0
∴x₁+x₂=$\frac{2-6k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$
∴（1+k²）$\frac{1}{1+{k}^{2}}$+k•$\frac{2-6k}{1+{k}^{2}}$+1=0，
∴2k²-k-1=0，
∴k=1或-$\frac{1}{2}$
∴所求直線(xiàn)方程為y=x+1或y=-$\frac{1}{2}$x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和靈活能力．