Question

1．設(shè)P是橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是焦點(diǎn)，若∠F₁PF₂=90°，則△PF₁F₂的面積為16．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的方程求得c，得到|F₁F₂|，設(shè)出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用勾股定理以及橢圓的定義，可求得t₁t₂的值，則三角形面積可求．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，得a=5，b=4，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=\sqrt{25-16}=3$，
設(shè)|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則根據(jù)橢圓的定義得t₁+t₂=10，
∵∠F₁PF₂=90°，由勾股定理得t₁²+t₂²=36，
即$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-2{t}_{1}{t}_{2}=36$，∴100-2t₁t₂=36，
解得t₁t₂=32，
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$t₁t₂=$\frac{1}{2}×32$=16．
故答案為：16．

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡單性質(zhì)．解答的關(guān)鍵是通過勾股定理解三角形，考查計算能力、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．