Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在正實(shí)數(shù)k，對(duì)于任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為D上的“k型增函數(shù)”，已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）為R上的“2015型增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜$\frac{2015}{6}$．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，通過(guò)討論x的范圍結(jié)合絕對(duì)值的幾何意義，從而求出a的范圍．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|x-a|-2a，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x-a|-2a，x＞0}\\{-|x+a|+2a，x＜0}\end{array}\right.$，
又f（x）為R上的“2015型增函數(shù)”，
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，由定義有|x+2015-a|-2a＞|x-a|-2a，
即|x+2015-a|＞|x-a|，其幾何意義為到點(diǎn)a小于到點(diǎn)a-2015的距離，
由于x＞0故可知a+a-2015＜0得a＜$\frac{2015}{2}$
當(dāng)x＜0時(shí)，
①若x+2015＜0，則有-|x+2015+a|+2a＞-|x+a|+2a，
即|x+a|＞|x+2015+a|，其幾何意義表示到點(diǎn)-a的距離小于到點(diǎn)-a-2015的距離，
由于x＜0，故可得-a-a-2015＞0，得a＜$\frac{2015}{2}$；
②若x+2015＞0，則有|x+2015-a|-2a＞-|x+a|+2a，
即|x+a|+|x+2015-a|＞4a，其幾何意義表示到到點(diǎn)-a的距離與到點(diǎn)a-2015的距離的和大于4a，
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，顯然成立，當(dāng)a＞0時(shí)，由于|x+a|+|x+2015+a|≥|-a-a+2015|=|2a-2015|，
故有|2a-2015|＞4a，必有2015-2a＞4a，解得a＜$\frac{2015}{6}$，
綜上，對(duì)x∈R都成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是 a＜$\frac{2015}{6}$，
故答案為：a＜$\frac{2015}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的奇偶性，考察新定義問(wèn)題，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義得到不等式是解答本題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．